Question

7．已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为线段CB上一点（不与C，B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE=∠AED，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图（1），
①若∠BAC=42°，∠DAE=30°，则α=12°，β=6°．
②若∠BAC=54°，∠DAE=36°，则α=18°，β=9°．
③写出α与β的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，请直接写出α与β的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①先根据角的和与差求α的值，根据等腰三角形的两个底角相等及顶角为30°得：∠ADE=∠AED=75°，同理可得：∠ACB=∠B=69°，根据外角性质列式：75°+β=69°+12°，可得β的度数；
②同理可求得：α=54°-36°=18°，β=9°；
③设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，分别求出∠ADE和∠B，根据∠ADC=∠B+α列式，可得结论；
（2）α=2β-180°，理由是：如图（2），设∠E=x°，则∠DAC=2x°，根据∠ADC=∠B+∠BAD，列式可得结论．

解答 解：（1）①∵∠DAE=30°，
∴∠ADE+∠AED=150°，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∵∠BAC=42°，
∴α=42°-30°=12°，
∴∠ACB=∠B=$\frac{180°-42°}{2}$=69°，
∵∠ADC=∠B+α，
∴75°+β=69°+12°，
β=6°；
故答案为：12°，6°；
②∵∠DAE=36°，
∴∠ADE+∠AED=144°，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∵∠BAC=54°，
∴α=54°-36°=18°，
∴∠ACB=∠B=$\frac{180°-54°}{2}$=63°，
∵∠ADC=∠B+α，
∴72°+β=63°+18°，
β=9°；
故答案为：18°，9°；
③α=2β，理由是：
如图（1），设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，
∵∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=$\frac{180°-x°}{2}$，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠AED=$\frac{180°-Y°}{2}$，
∴β+∠ADE=α+∠ABC，
β+$\frac{180°-y°}{2}$=α+$\frac{180°-x°}{2}$，
∴α=2β；
（2）α=2β-180°，理由是：
如图（2），设∠E=x°，则∠DAC=2x°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=α+2x°，
∴∠B=∠ACB=$\frac{180°-α-2x°}{2}$，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴β-x°=$\frac{180°-α-2x°}{2}$+α，
∴α=2β-180°．

点评 本题是三角形的综合题，难度适中，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是关键，知道顶角的度数可以表示两个底角的度数，同时运用了类比的方法解决三个问题．