Question

【题目】如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．
（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图①，过B作BF⊥OA于F，

∵A（0，10），

∴OA=10，

∵B（8，4），

∴BF=8，OF=4，

∴AF=10﹣4=6，

∴AB=10，

由图②知：点P在边AB上运动时间为10秒，所以速度为：10÷10=1，

Q（1，0），

则点P运动速度为每秒1个单位长度；

（2）

解：如图③，过B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4，

由（1）知：AF=6，AB=10；

过C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H，

∵∠ABC=90°，AB=BC，

∴△ABF≌△BCH，

∴BH=AF=6，CH=BF=8，

∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12，

∴所求C点的坐标为（14，12）；

（3）

解：过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，

∴PM∥BF，

则△APM∽△ABF，

∴ ，

∴ = = ，

∴AM= ，PM= t，

∴PN=OM=10﹣ t，ON=PM= t，

∴S=S△OPQ= PNOQ

= ×（10﹣ t）（1+t）=﹣ （0≤t≤10）；

（4）

解：OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时，满足条件；

①当P在AB上时，如图③， t= （t+1），t= ，OP与PQ相等，

②当P在BC上时，如图④，则PB=t﹣10，

sin∠ABF=sin∠BPM= ，

∴ ，

∴BM= （t﹣10），

∴ON=BF+BM=8+ （t﹣10），

8+ （t﹣10）= （t+1），解得：t=﹣15（舍），

③当P在CD上时，如图⑤，则PC=t﹣20，

cos∠PCR=cos∠BCH= ，

∴ ，

∴CR=MH= （t﹣20），

∴ON=OG﹣NG=FH﹣MH=14﹣ （t﹣20），

14﹣ （t﹣20）= （t+1），解得：t= ，

即当t= 时，OP=PQ，

综上所述，当t= 或 时，OP与PQ相等．

【解析】（1）由A和B两点的坐标求正方形边长AB，由图②得：P在边AB上运动10秒，Q开始运动时，横坐标为1；（2）由（1）知，正方形边长为10，根据三角形全等得：BH=AF=6，CH=BF=8，所以可得OG=14，CG=12，写出C点的坐标；（3）作辅助线，证明△APM∽△ABF，列比例式得：AM= ，PM= t，根据面积公式可得S与t的关系式；（4）OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半；分三种情况进行讨论：点P分别在AB、BC、CD上时，根据这一等量关系列式可得t的值．