Question

12．如图，二次函数y=ax²+bxc的图象经过A（4，0），D（-1，0）和B（3，3）三，．顶点为点P．作BC⊥BA交y轴于C，交对称轴于Q，将∠CBA绕点B顺时针旋转，∠CBA的两边分别交x轴、y轴于点E、F．设点E的坐标为（m，0）．
（1）二次函数y=ax²+bx+c的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3；
（2）当BF经过顶点P时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式得出答案；
（2）首先求出二次函数顶点坐标，再求出直线BF，BE的解析式，进而得出m的值．

解答 解：（1）将A（4，0），D（-1，0）和B（3，3）代入函数解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故二次函数y=ax²+bx+c的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3，
故答案为：y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3；

（2）∵y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3
=-$\frac{3}{4}$（x²-3x）+3，
=-$\frac{3}{4}$[（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$]+3
=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{16}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{75}{16}$），
设直线BP的解析式为：y=kx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+d=\frac{75}{16}}\\{3k+d=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{9}{8}}\\{d=\frac{51}{8}}\end{array}\right.$，
∴直线BP的解析式为：y=-$\frac{9}{8}$x+$\frac{51}{8}$，
∵BF⊥BE，
∴设直线BE的解析式为：y=$\frac{8}{9}$x+e，
将（3，3）代入得：
3=$\frac{8}{9}$×3+e，
解得：e=$\frac{1}{3}$，
故直线BE的解析式为：y=$\frac{8}{9}$x+$\frac{1}{3}$，
当y=0，
解得：x=-$\frac{3}{8}$，
故m=-$\frac{3}{8}$．

点评 此题主要考查了二次函数与几何变换以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确得出BE所在直线解析式是解题关键．