Question

2．如图所示，已知点A（-1，0），B（3，0），C（0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过A、B、C三点，点P（2，m）是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OCA中利用正切的定义可计算出OC=3，C（0，3），设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C（0，3）代入计算出a的值即可；
（2）先根据二次函数图象上点的坐标特征确定P（2，3），连结PA，QB，点Q在抛物线的对称轴上，而点A与点B对称，则QA=QB，利用两点之间线段最短可得PQ+QB的最小值为PA的长，然后利用两点间的距离公式计算出PA即可．

解答 解：（1）在Rt△OCA中，OA=1，
∵tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{3}$，
∴OC=3，
∴C（0，3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；
（2）当x=2时，y=-x²+2x+3=3，则P（2，3），
连结PA，QB，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而Q（1，n），
∴点Q在直线x=1上，
∵点A与点B对称，
∴QA=QB，
∴PA=QP+QB，
∴PQ+QB的最小值为PA的长，
而PA=$\sqrt{（2+1）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即PQ+QB的最小值为3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．