Question

15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，连结CO，CB．
（1）若AM=2，BM=8，求CD的长度；
（2）若CO平分∠DCB，求证：CD=CB．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得出CM=DM，再由已知条件得出圆的半径为5，在Rt△OCM中，由勾股定理得出CM即可，从而得出CD；
（2）过点O作ON⊥BC，垂足为N，由角平分线的性质得出OM=ON，从而得出CB=CD．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM=DM，
∵AM=2，BM=8，
∴AB=10，
∴OA=OC=5，
在Rt△OCM中，OM²+CM²=OC²，
∴CM=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴CD=8；
（2）过点O作ON⊥BC，垂足为N，
∵CO平分∠DCB，
∴OM=ON，
∴CB=CD．

点评 本题考查了垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握定理的内容并熟练地运用是解题的关键．