Question

点O是平行四边形ABCD的对称中心，AB=2，BC=6，∠ABC=60°，过O任意作一条直线l与AD、BC分别交于M、N，作AE⊥MN于E，CF⊥MN于F．
（1）求证：AE=CF；
（2）求点A到直线l的最大距离．

Answer 1

分析：（1）∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，连接AC必经过点O，可构造出△AOE≌△COF；从而AE=CF．
（2）在直线l绕O点旋转的过程中，体会什么时候AE最大，画出此时的图形，用勾股定理计算．

解答：（1）证明：连接AC，
∵O是平行四边形ABCD的对称中心
∴O在AC上，
在△AOE和△COF中

∠AEO=∠CFO ∠EOA=∠COF AO=CO

∴△AOE≌△COF（AAS）
∴AE=CF；

（2）解：作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠ABH=60°，
∴BH=

1

2

AB=1，
∴CH=5，AH=

3

在Rt△AHC中，AC=

AH2+HC2

=2

7

∵AE⊥l，所以AE≤AO=

1

2

AC=

7

所以点A到直线l的最大距离为

7

，此时MN⊥AC．

点评：解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关的计算和证明．