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    已知：如图，过点O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0），交y轴的负半轴于点D；弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点，以点B为顶点且过点D的抛物线l交⊙P与另一点E．
    （1）当m=4时，求出抛物线l的函数关系式并写出点E的坐标；
    （2）当m取何值时，四边形BDCE面积最大？最大面积是多少？
    （3）是否存在实数m，使得四边形BDCE为菱形？并说明理由．
    分析：（1）可连接OP，PM，设AC与OM交于N，那么在直角三角形OPN中，OP=5，ON=m=4．因此PN=3，AN=BN=2，CN=PC+PN=8，因此A，B，C的坐标分别为（4，2），（4，-2），（4，-8）．可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，根据圆和抛物线的对称性可知：E点和D点关于抛物线的对称轴x=4对称，因此根据D的坐标即可求出E点的坐标．
    （2）根据M（2m，0）得出A、B、C、D、E点的坐标，进而表示出四边形BDCE的面积，利用二次根式性质得出最值即可．
    （3）如果以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直平分，如果设BC，DE的交点为F，那么BF=CF，可用A点的纵坐标即AN的长表示出BF和CF由此可求出A点的纵坐标，进而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值．
    解答：解：（1）连接OP，OB，
    ∵过点O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0），m=4，
    ∴M点坐标为：（8，0），
    ∴ON=4，
    ∴NP=
    		52-42
    =3，
    ∴AN=5-NP=2，
    ∴BN=2，
    ∴B点坐标为：（4，-2），P点坐标为：（4，-3），
    图象过（0，0）点，
    故将顶点（4，-2）代入顶点式得y=a（x-4） 2-2，
    则0=a（0-4）2-2，
    解得a=-
    1
    4
    ．
    抛物线的函数关系式为：y=-
    1
    4
    （x-4）2-2．
    x=0时，y=-6，故D点坐标为（0，-6），抛物线对称轴为x=4，
    故根据对称可知：E（8，-6）；

    （2）∵点M（2m，0），
    ∴AN=PA-NP=5-
    		25-m2
    ，故A点坐标为：（m，5-
    		25-m2
    ），可得B（m，-5+
    		25-m2
    ），
    C（m，-5-
    		25-m2
    ），D（0，-2
    		25-m2
    ），E（2m，-2
    		25-m2
    ），
    四边形BDCE的面积为：S=
    1
    2
    BC•DE=
    1
    2
    ×2
    		25-m2
    ×2m=2
    		25m2-m4
    =2
    		-(m2-
    25
    2
    )2+
    625
    4
    ，
    所以当m2=
    25
    2
    ，即m=±
    5
    		2
    2
    （负值舍去）时，面积有最大值．
    四边形面积的最大值为：S=2
    625
    4
    =25    ．


    （3）设A（m，h），则B的坐标为（m，-h），C的坐标为（m，h-10），
    假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，则DE与BC互相垂直平分，设DE与BC相交于点F，于是BF=CF．
    则10-3h=h，
    即h=
    5
    2
    ，
    故BC=5，
    此时B、P两点重合，
    故m=
    		52-(
    5
    2
    )2    =
    5
    2
    		3
    ，
    或：因为BC垂直且平分DE，所以DE平分BC时，四边形BDCE是菱形．
    -2
    		25-m2
    =-5    ，m=
    5
    		3
    2
    ．
    点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式、垂径定理、勾股定理、菱形的性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．
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    （1）若点C的坐标为（0，
    4
    3
    		3
    ），AC平分∠BAO，求点B的坐标；
    （2）若AC=
    		2
    OE，且点P在AB上，是否存在实数m，对于抛物线y=ax2+bx+c上任意一点M（x，y），都能使（x+2）2+（y-2+m）2=（y-2-m）2成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

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    -
    1
    2
    ≤a≤-
    1
    9
    -
    1
    2
    ≤a≤-
    1
    9
    ．

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    （2）当m取何值时，四边形BDCE面积最大？最大面积是多少？
    （3）是否存在实数m，使得四边形BDCE为菱形？并说明理由．

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