Question

在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD饶A点按逆时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分别是A﹑B﹑C﹑D旋转后的对应点）（图1）
（1）写出C﹑F两点的坐标；
（2）等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA=x（图2），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的关系式；
（3）线段DC上是否存在点P，使EFP为等腰三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求这两点的坐标其实求出其中一个也就知道另外一个的坐标了，我们求C的坐标即可．如果过点C向x轴引垂线，那么组成的以BC为斜边的小直角三角形中，两直角边的长就都应该是2（可根据BC=2，∠A=∠C=45°，用正弦或余弦函数就能求出），那么C点的坐标就应该是（4，2）．而F点的横坐标的绝对值等于C点纵坐标的绝对值，F点的纵坐标的绝对值等于C点横坐标的绝对值，因此F的坐标应是（-2，4）．
（2）在（1）中，我们得出了点C的坐标，那么用同样的方法可得出D点的坐标（2，2），当梯形向左平移x单位后，设DC与y轴交于H，那么DH=x-2．这样我们可以根据重合部分的面积=梯形DHOA的面积-三角形AQO的面积（设AD、OG交于Q），那么关键是求出三角形AQO的面积，根据旋转的性质可知，∠GQD=90°，即三角形AQO是个直角三角形，又因为∠AQO=45°，OA=x，那么很明显三角形AQO的两直角边就应该是x，那么三角形AQO的面积=×（x）²=x²．在上面我们求出了DH的长，那么梯形AOHD的面积=×（x-2+x）×2=2x-2．因此重合部分的面积=梯形ADHO的面积-三角形AQM的面积=-x²+2x-2．也就求出了x、y的函数关系式．
（3）要分三种情况进行讨论：
①以E为顶点，EF、EP为腰的等腰三角形，
②以F为顶点，EF、FP为腰的等腰三角形．
③以P为顶点，FP、EP为腰的等腰三角形．
我们根据（1）的结果不难得出E点的坐标是（0，6），F点的坐标是（-2，4）．根据P在DC线上那么，可设P点坐标是（m，2）．那么可用坐标系中两点间的距离公式，分别按三种情况进行计算，得出符合条件的m的值．
解答：解：（1）C的坐标是（4，2），F的坐标是（-2，4）

（2）过D作DM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N，
图（1）中，在直角三角形AMD中，AD=2，∠DOM=45°，
因此DM=AM=2．
因此D点的坐标是（2，2）．
图（2），当OA=x时，设DC交y轴于H，AD交GO于Q，那么DH=x-2．
所以梯形AODH的面积=×（DH+OA）×DM=2x-2．
△AQO中，根据旋转的性质及旋转角度为90度．可得：
∠AQO=90°，
又因为∠QAM=45°，
因此AQ=QO=x，
所以△AQO的面积=×AQ×OQ=x²
因此重合部分的面积y=S_梯形AODH-S_△AQO=2x-2-x²
即：y=-x²+2x-2（2＜x＜4）

（3）由于P点在DC线上，设点P的坐标为（m，2）．
根据旋转的性质以及图（1）中，B、C两点的坐标可知：E点的坐标是（0，6），F点的坐标是（-2，4）．
①当以E为顶点，EF、EP为腰时，EF=EP=2，
因此（2）²=m²+（2-6）²，
即m²+16=8，此方程无解，
因此不存在这种情况．
②当以F为顶点，EF、FP为腰时，EF=FP=2，
因此（2）²=（m+2）²+（2-4）²，即m（m+4）=0，m=-4，m=0．
当m=-4时，P点坐标为（-4，2）．PE==4=2EF，
因此P、E、F在一条直线上构不成三角形，
因此此时P点的坐标应该是（0，2）．
③当以P为顶点，FP、EP为腰，EP=PF，
因此m²+（2-6）²=（m+2）²+（2-4）²，即m=2．
那么此时P的坐标为（2，2）．
综上所述，存在符合条件的P点且坐标为（2，2）或（0，2）．
点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，本题中根据梯形的性质得出梯形旋转前后各顶点的坐标是解题的关键．