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17.(1)太原双塔寺,为国家级文物保护单位,由于双塔耸立.被人们称为“文笔双塔”,成为太原的标志.小明学习了“利用三角函数测量不可达物体高度”的知识后.利用图1求塔DE的高.具体做法:在地面A、B两处测得塔DE的仰角分别为α、β,且测得AB=a米.设DE=h米,由AE-BE=a可得关于h的方程$\frac{h}{tanα}$-$\frac{h}{tanβ}$=a,解得h=$\frac{a•tanα•tanβ}{tanβ-tanα}$
(2)请你用上述基本模型解决下列问题:如图2,斜坡AE的坡度为1:$\sqrt{3}$,在A处测得塔尖D的仰角为60°,沿着斜坡向上走10米到达B,在B处侧得塔尖D的仰角为75°,求塔DE的高.(结果保留根号)

分析 (1)在Rt△ADE中求出AE,在Rt△BDE中求出BE,然后根据AE-BE=AB得出方程,解出即可.
(2)过点B作BG⊥CE于点G,过点D作DH⊥AE,根据图形中的三角函数关系可表示出DH,继而Rt△DEH中可表示出DE.

解答 解:(1)∵在Rt△ABE中,AE=$\frac{DE}{tan∠DAE}$=$\frac{h}{tanα}$,
在Rt△BDE中,BE=$\frac{DE}{tan∠DBE}$=$\frac{h}{tanβ}$,
∴由AE-BE=a可得方程:$\frac{h}{tanα}$-$\frac{h}{tanβ}$=a,
解得:h=$\frac{a•tanα•tanβ}{tanβ-tanα}$,
故答案为:$\frac{h}{tanα}$-$\frac{h}{tanβ}$=a,$\frac{a•tanα•tanβ}{tanβ-tanα}$;

(2)如图,过点B作BG⊥CE于点G,过点D作DH⊥AE,交AE延长线于点H,

∵tan∠BAC=i=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴∠BAC=30°,
∵∠DAC=60°,
∴∠DAH=∠EAC=30°,
∵∠BGE=∠C=90°,
∴BG∥AC,
∴∠EAC=∠EBG=30°,
∵∠DBG=75°,
∴∠DBH=45°,
由(1)中结论可得:DH=$\frac{AB•tan∠DAH•tan∠DBH}{tan∠DBH-tan∠DAH}$=$\frac{10×\frac{\sqrt{3}}{3}×1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$=5$\sqrt{3}$+5,
∵∠BEG=∠DEH、且∠BGE=∠DHE=90°,
∴∠EDH=∠EBG=30°,
∴DE=$\frac{DH}{cos∠EDH}$=$\frac{5\sqrt{3}+5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=10+$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$,
故塔高为10+$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$米.

点评 本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角及坡度坡比的问题,熟练掌握三角函数的定义,并添加合适辅助线构建基本模型是解题的关键.

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