Question

如图，在一张长方形纸片ABCD中，AB＜AD，点E、F分别是AB和CD的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，使点B落在线段EF上的点G处，折痕AK交EF于H，则下列说法正确的个数有
①∠DAG=30°；②△GHK是正三角形；③GH=2EH；④FG=EH．

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：根据折叠的性质得到AG=AB，∠BAK=∠GAK，∠AGK=∠B=90°，则点E、F分别是AB和CD的中点，AE=AB=AE，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠AGE=30°，则∠DAG=30°；再计算∠GAB=90°-∠DAG=60°，则∠BAK=∠GAK=30°，于是可得到∠GHK=∠GAH+∠AGH=30°+30°=60°，∠HGK=90°-∠AGH=90°-30°=60°，可判断
△GHK为正三角形；在Rt△AEH中得到AH=2EH，则HA=HG=2EH；在Rt△AEH中，∠HAE=30°，则AE=EH，而AE与FG的大小不能确定，则可判断④错误．
解答：∵△ABK沿AK折叠后与△AGK重合，
∴AG=AB，∠BAK=∠GAK，∠AGK=∠B=90°，
∵点E、F分别是AB和CD的中点，
∴AE=AB，
在Rt△AGE中，AE=AG，则∠AGE=30°，
∴∠DAG=30°，所以①正确；
∵∠GAB=90°-∠DAG=60°，
∴∠BAK=∠GAK=30°，
∴∠GHK=∠GAH+∠AGH=30°+30°=60°，
∵∠HGK=90°-∠AGH=90°-30°=60°，
∴△GHK为正三角形；所以②正确；
在Rt△AEH中，∠HAE=30°，
∴AH=2EH，
∵∠AGH=30°，∠GAH=30°，
∴HA=HG，
∴HG=2EH，所以③正确；
在Rt△AEH中，∠HAE=30°，
∴AE=EH，
而AB＜AD，AE=AB
∴AE与FG的大小不能确定，所以④错误．
故选C．
点评：本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了等边三角形的判定以及含30°的直角三角形三边的关系．