Question

17．问题探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，AB=2，点E是边AD的中点，请在对角线AC上找一点P，使得PE+PD的值最小，并求出这个最小值；（不用写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是边BC的中点，若点P是边AB上一动点，当△PED的周长最小时，求BP的长度；
问题解决：
（3）某市规划在市中心广场内修建一个矩形的活动中心，如图3，矩形OABC是它的规划图纸，其中A为入口，已知OA=30，OC=20，点E是边AB的中点，以顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点D是边OA上一点，若将△ABD沿BD翻折，点A恰好落在边BC上的点F处，在点F处设一出口，点M、N分别是边OA、OC上的点，现规划在点M、N、F、E四处各安置一个健身器材，并依次修建MN、NF、FE及EM四条小路，则是否存在点M、N，使得这四条小路的总长度最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BE交AC于P，则点P即为所求，此时BE的长就是PE+PD的最小值，由正方形的性质得出AD=AB=2，AE=DE=$\frac{1}{2}$AD=1，由勾股定理得出PE+PD=BE=$\sqrt{5}$即可；
（2）作点E关于直线AB的对称点E'，连接DE'，交AB于点P，连接PE、DE，则此时△PED的周长最小，由矩形的性质得出∠PBE'=∠C=90°，CD=AB=6，BE'=BE=$\frac{1}{2}$BC=4，证明△PBE'∽△DCE'，得出对应边成比例求出BP=2即可；
（3）作点E关于x轴的对称点E'，作点F关于y轴的对称点F'，连接E'F'，与x轴、y轴分别交于点M、N，连接MN、NF、FE、EM，则此时这四条小路的总长最小，且最小值为E'F'+EF的长，由题意得：BC=OA=30，AB=OC=20，求出E（30，10），E'（30，-10），由折叠的性质得：BF=AB=20，求出CF'=CF=10，得出F'（10，20），F'（-10，20），由勾股定理求出EF=10$\sqrt{5}$，在Rt△BE'F'中，由勾股定理求出E'F'=50，由对称的性质得：MN+NF+FE+EM=E'F'+EF=50+10$\sqrt{5}$即可．

解答 解：（1）连接BE交AC于P，如图1所示：
则点P即为所求，
∴此时BE的长就是PE+PD的最小值，
∵在正方形ABCD中，AB=2，点E是边AD的中点，
∴AD=AB=2，AE=DE=$\frac{1}{2}$AD=1，PE+PD=BE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
即PE+PD的最小值为$\sqrt{5}$；

（2）作点E关于直线AB的对称点E'，连接DE'，交AB于点P，连接PE、DE，如图2所示：
则此时△PED的周长最小，
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是边BC的中点，
∴∠PBE'=∠C=90°，CD=AB=6，BE'=BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
又∵∠E'=∠E'，
∴△PBE'∽△DCE'，
∴$\frac{BP}{CD}=\frac{BE'}{CE'}$，即$\frac{BP}{6}=\frac{4}{4+8}$，
解得：BP=2，
即当△PED的周长最小时，BP的长度为2；

（3）作点E关于x轴的对称点E'，作点F关于y轴的对称点F'，连接E'F'，与x轴、y轴分别交于点M、N，连接MN、NF、FE、EM，如图3所示：
则此时这四条小路的总长最小，且最小值为E'F'+EF的长，
由题意得：BC=OA=30，AB=OC=20，点E为AB中点，
∴AE'=AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=10，
∴E（30，10），E'（30，-10），
由折叠的性质得：BF=AB=20，
∴CF'=CF=30-20=10，
∴F'（10，20），F'（-10，20），
∴EF=$\sqrt{2{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
在Rt△BE'F'中，BF'=BC+CF'=40，BE'=AB+AE'=30，
∴E'F'=$\sqrt{4{0}^{2}+3{0}^{2}}$=50，
由对称的性质得：MN+NF+FE+EM=E'F'+EF=50+10$\sqrt{5}$，
即存在点M、N，使得这四条小路的总长度最小，这个最小值为50+10$\sqrt{5}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、对称的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及最小值、最短路径问题等知识；本题综合性强，有一定难度．