Question

【题目】（定义学习）

定义:如果四边形有一组对角为直角,那么我们称这样的四边形为“对直四边形”.

（判断尝试）

在A.矩形；B.菱形；C.正方形中；一定是“对直四边形”的是______.(填字母序号)

（操作探究）

在菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，AE⊥BC于点E,请用尺规作图法在边AD和CD上各找一点F，使得由点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，连接EF，并直接写出EF的长.(保留作图痕迹，不写作法)

(1)当点F在边AD上时.

(2)当点F在边CD上时.

（实践应用）

某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，已知AB=3米，AD=1米，∠C=45°，∠A=∠B=90°.现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等,要求充分利用材料且无剩余，求分割后得到的等腰三角形的腰长.

Answer 1

【答案】【判断尝试】A，C；【操作探究】(1)图见解析，EF=2；(2)图见解析，EF=；【实践应用】等腰三角形的腰长为米或2米.

【解析】

判断尝试：直接根据“对直四边形”定义可得：矩形和正方形是“对直四边形”；

操作探究：

（1）F在边AD上时，如图1，作CF⊥AD，得矩形AECF，根据勾股定理可得EF的长；

（2）F在边CD上时，如图2，作AF⊥CD，证明△AEF是等边三角形，可得EF的长；

实践应用：

存在两种情况：①如图3，矩形ABED，F是DC的中点，②如图4，∠A=∠BFD=90°，E是BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结论．

解:【判断尝试】∵矩形的四个内角都是直角，正方形的四个内角都是直角，

∴矩形和正方形的对角为直角,为“对直四边形”

故填：A，C.

操作探究：

(1)当点F在边AD上时,如图1,

由题意可得∠AEC=∠AFC=90°,

在Rt△ABE中,∠B=60°,

∴∠BAE=30°.

∵AB=BC=2,

∴BE=1,

∴CE=2-1=1.

∵AD∥BC,AE⊥BC,CF⊥AD,

∴AE=CF==,

∴EF==2.

(2)当点F在边CD上时,如图2,

由题意可得AF⊥CD.

∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD,∠B=∠D=60°.

∵∠AEB=∠AFD=90°,

∴△ABE≌△ADF(AAS),

∴AE=AF.

∵∠BAE=∠DAF=30°,

∴∠EAF=120°-30°-30°=60°,

∴△AEF是等边三角形,

∴EF=AE=.

实践应用：

①如图3，在矩形ABED中，F是DC的中点,

在Rt△DEC中，∠C=45°,

∴△DEC是等腰直角三角形,

且DE=EC=3，

∴DC=3，

∴DF=CF=EF=，即此时分割后得到的等腰三角形的腰长为米；

②如图4，∠A=∠BFD=90°，E是BC的中点,

同理得△BFC是等腰直角三角形.

∵BC=4，

∴EF=BE=CE=2，即此时分割后得到的等腰三角形的腰长为2米.