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    3．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与 y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻析，点A落到C点，过点B的抛物线y=-x2+bx+c与直线BC交于点D（3，-4）．
    （1）求直线BD和抛物线的解析式；
    （2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形B，O，H，P是平行四边形时，试求动点P的坐标．

    分析 （1）由直线y=2x+2可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；
    （2）如图1，2，由（1）的解析式设M（a，-a2+a+2），当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；
    （3）设P（b，-b2+b+2），H（b，-2b+2）．由平行四边形的性质建立方程求出b的值就可以求出结论．

    解答 解：（1）∵y=2x+2，
    ∴当x=0时，y=2，
    ∴B（0，2）．
    当y=0时，x=-1，
    ∴A（-1，0）．
    ∵抛物线y=-x2+bx+c过点B（0，2），D（3，-4），
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{-4=-9+3b+c}\end{array}\right.$
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
    ∴y=-x2+x+2；
    设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得
    $\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4=3k+b}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
    ∴直线BD的解析式为：y=-2x+2；

    （2）存在．
    如图1，设M（a，-a2+a+2）．
    ∵MN垂直于x轴，
    ∴MN=-a2+a+2，ON=a．
    ∵y=-2x+2，
    ∴y=0时，x=1，
    ∴C（1，0），
    ∴OC=1．
    ∵B（0，2），
    ∴OB=2．
    当△BOC∽△MNO时，
    ∴$\frac{BO}{MN}$=$\frac{OC}{ON}$，
    ∴$\frac{2}{-{a}^{2}+a+2}$=$\frac{1}{a}$，
    解得：a1=1，a2=-2（舍去）
    ∴M（1，2）；
    如图2，当△BOC∽△ONM时，
    $\frac{BO}{ON}$=$\frac{OC}{MN}$，
    ∴$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{-{a}^{2}+a+2}$，
    ∴a=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$或$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$（舍去），
    ∴M（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）．
    ∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）；

    （3）设P（b，-b2+b+2），H（b，-2b+2）．
    如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，
    ∴BO=PH=2．
    ∵PH=-b2+b+2+2b-2=-b2+3b．
    ∴2=-b2+3b
    ∴b1=1，b2=2．
    当b=1时，P（1，2），
    当b=2时，P（2，0）
    ∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．

    点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，平行四边形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

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