Question

已知△ABC为等边三角形，AB=6，P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC相交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上，
（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当BP=2时，求CF的长；
（3）△GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在△BDP中，根据已知条件得BD=2x，在△CEF中，根据已知条件得EC=

3

3

，得y关于x的函数解析式．再求出x的定义域．
（2）BP=2，根据（2）得到的y关于x的函数解析式求出CF的长．
（3）假设△GDP是直角三角形，得△APF是直角三角形，得PF的x、y的函数解析式．再把（2）得到的关于x、y的函数解析式代入PF的函数解析式中，得到BP的长．

解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=6．（1分）
∵DP⊥AB，BP=x，
∴BD=2x．（1分）
又∵四边形DEFG是正方形，
∴EF⊥BC，EF=DE=y，
∴EC=

3

3

y．（1分）
∴2x+y+

3

3

y=6，（2分）
∴y=(

3

-3)x+9-3

3

．（1分）
（6-3

3

≤x＜3）（1分）

（2）当BP=2时，y=(

3

-3)×2+9-3

3

=3-

3

．（1分）
CF=

2y

3

=2

3

-2．（1分）

（3）△GDP能成为直角三角形．（1分）
①∠PGD=90°时，
6-x=

3

y+y，6-x=(

3

+1)•[(

3

-3)x+9-3

3

]，
得到：x=

30-6 3

11

．（2分）
②∠GPD=90°时，G在AB上，参照（1）．

点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、解直角三角形、三角形相似、函数等知识．
难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．