Question

8．已知Rt△ACB，∠ACB=90°，I为内心，CI交AB于D，BD=$\frac{15}{7}$，AD=$\frac{20}{7}$，则S_△ACB=（　　）

• A． 12
• B． 6
• C． 3
• D． 7.5

Answer 1

分析 根据内心的性质得CD平分∠ACB，则根据角平分线定理得到$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{4}{3}$，于是可设AC=4x，BC=3x，再利用勾股定理得到AB=5x，则有5x=$\frac{20}{7}$+$\frac{15}{7}$，解得x=1，所以AC=4，BC=3，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：∵I为内心，
∴CD平分∠ACB，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\frac{20}{7}}{\frac{15}{7}}$=$\frac{4}{3}$，
设AC=4x，BC=3x，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5x，
∴5x=$\frac{20}{7}$+$\frac{15}{7}$，解得x=1，
∴AC=4，BC=3，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}$×4×3=6．
故选B．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．灵活应用角平分线定理是解题的关键．