Question

4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）若直线y=-x+m与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象相交于两个不同点E、F（点E在点F的左边），与y轴相交于点M
①则m的取值范围为m＞4（请直接写出结果）
②求ME•MF的值．

Answer 1

分析 （1）设D的坐标是（4，a），则A的坐标是（4，a+3），由点C是OA的中点，可用含a的代数式表示出点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可找出4a=2×$\frac{a+3}{2}$=k，解之即可得出a、k的值，进而即可得出反比例函数的解析式；
（2）①将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，整理后可得出关于x的一元二次方程，由m＞0以及根的判别式△＞0，即可得出关于m的不等式组，解之即可得出结论；
②由一次函数解析式可得出∠MEG=∠MFH=45°，进而可得出ME=$\sqrt{2}$GE、MF=$\sqrt{2}$HF，将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，由根与系数的关系可得出x_E•x_F=4，进而可得出ME•MF=2x_E•x_F=8，此题得解．

解答 解：（1）设D的坐标是（4，a），则A的坐标是（4，a+3）．
又∵点C是OA的中点，
∴点C的坐标是（2，$\frac{a+3}{2}$），
∴4a=2×$\frac{a+3}{2}$=k，
解得a=1，k=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$；

（2）①将y=-x+m代入y=$\frac{4}{x}$中，-x+m=$\frac{4}{x}$，
整理，得：x²-mx+4=0，
∵直线y=-x+m与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象相交于两个不同点E、F，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△={m}^{2}-16＞0}\end{array}\right.$，
解得：m＞4．
故答案为：m＞4．
②过点E、F分别作y轴的垂线，垂足分别为G、H．
由y=-x+m可知：∠MEG=∠MFH=45°，
∴ME=$\sqrt{2}$GE，MF=$\sqrt{2}$HF．
由y=-x+m=$\frac{4}{x}$，得x²-mx+4=0，
∴x_E•x_F=4，
∴ME•MF=2x_E•x_F=8．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征找出4a=2×$\frac{a+3}{2}$=k；（2）①利用根的判别式△＞0结合m＞0，找出关于m的不等式组；②利用根与系数的关系找出x_E•x_F=4．