Question

如图，抛物线y =ax²+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y =x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C．

【小题1】（1）求点B、C的坐标；
【小题2】（2）求抛物线的解析式；   
【小题3】（3）求抛物线的顶点M的坐标；
【小题4】（4）在直线y =x-3上是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【小题1】解：（1）在y =x-3中，分别令y =0和x =0，得
x =3和y =-3．
∴ B（3，0），C（0，-3）． 
【小题2】（2）∵ 抛物线过点A（-1，0）、B（3，0），
∴ 设抛物线的解析式为：y =a（x+1）（x-3）．
∵ 抛物线过点C（0，-3），
∴ -3= a（0+1）（0-3）．
∴ a=1．
∴ 抛物线的解析式为：y =（x+1）（x-3）．       ………………… 4分
即y =x²-2x -3．
【小题3】（3）由y =x²-2x -3，得y =（x -1）²-4．
∴ 抛物线的顶点M（1，-4）
【小题4】（4）如图，存在满足条件的P₁（1，-2）和P₂（-1，-4）．
作MN⊥y轴于点N，则∠CNM=90°．
∵ M（1，-4），C（0，-3），
∴ MN=NC=1．
∴ ∠MCN=45°．
∵∠COB=90°，B（3，0），C（0，-3），
∴ ∠OCB=45°．
∴ ∠BCM=90°．       …………………………………………… 6分
∴ 要使点P在直线y =x-3上，必有PC=MC.
∠MPC=∠CMP=45°．
则 过点M分别作x轴和y轴的垂线，交直线y =x -3于点P₁和P₂.
在y = x -3中，分别令x =1，y =-4，得y =-2，x =-1．
则 P₁（1，-2）和P₂（-1，-4）

解析