Question

如图，在直角梯形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．连接并展开纸片．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）取线段的中点，连接，如果，试说明四边形是等腰梯形．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）说理见解析.

试题分析：(1)由题意知，AD=DE，易证四边形AFED是矩形，所以四边形AFED是正方形，连接DG由于BG与CD平行且相等，所以边形BCDG是平行四边形
(2)由（1）知CB=DG，在正方形AFED中，易证△DAG≌△EFG，所以DG=EG=BC，即四边形GBCE是等腰梯形．
试题解析：（1）∵△DEF由△DAF折叠而得，
∴∠DEF=∠A=90°，DA=DE，
∵AB∥CD，
∴∠ADE=180°-∠A=90°．
∴∠DEF=∠A=∠ADE=90°．
∴四边形ADEF是矩形．
又∵DA=DE，
∴四边形ADEF是正方形.
（2）由折叠及图形特点易得EG与CB不平行，
连接DG，

∵BG∥CD，且BG=CD，
∴四边形BCDG是平行四边形．
∴CB=DG．
∵四边形ADEF是正方形，
∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．
∵G是AF的中点，
∴AG=FG．
在△DAG和△EFG中
，
∴△DAG≌△EFG（SAS）．
∴DG=EG．
∴EG=BC．
∴四边形GBCE是等腰梯形．