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    （2013•三元区质检）已知：如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，抛物线y=ax2+bx经过点B、C．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？
    （3）点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）先写出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式即可；
    （2）利用勾股定理列式求出AC的长，再求出点P到达点C的时间，然后表示出CP、CQ的长，然后分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况，利用∠ACO的余弦列式其解即可；
    （3）先根据抛物线解析式求出对称轴解析式，然后分①AC是平行四边形的边时，分点M在对称轴左边与右边两种情况求出点M的横坐标，然后代入抛物线解析式计算求出纵坐标，从而求出点M的坐标，再根据点A、C的纵坐标的差距求出点N的纵坐标，然后写出点N的坐标；②AC是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分可知点M为抛物线的顶点坐标，再根据中点求出点N即可．
    解答：解：（1）∵OA=5，AB=10，OC=12，
    ∴点B（10，5），C（12，0），
    ∴
    100a+10b=5
    144a+12b=0
    ，
    解得
    a=-
    1
    4
    b=3
    ，
    ∴抛物线的函数表达式为y=-
    1
    4
    x2+3x；

    （2）根据勾股定理，AC=
    		OA2+OC2
    =
    		52+122
    =13，
    ∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，
    ∴点P运动的时间为：13÷2=6.5秒，
    CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，
    ∵∠ACO≠90°，
    ∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况讨论：
    ①∠PQC=90°时，cos∠ACO=
    CQ
    CP
    =
    OC
    AC
    ，
    即
    t
    13-2t
    =
    12
    13
    ，
    解得t=
    156
    37
    ，
    ②∠CPQ=90°时，cos∠ACO=
    CP
    CQ
    =
    OC
    AC
    ，
    即
    13-2t
    t
    =
    12
    13
    ，
    解得t=
    169
    38
    ，
    综上所述，t为
    156
    37
    秒或
    169
    38
    秒时，△PQC是直角三角形；

    （3）抛物线对称轴为直线x=-
    b
    2a
    =-
    3
    2×(-
    1
    4
    )
    =6，
    ①AC是平行四边形的边时，（i）若点M在对称轴左边，
    ∵OC=12，
    ∴点M的横坐标为：6-12=-6，
    代入抛物线解析式得，y=-
    1
    4
    ×（-6）2+3×（-6）=-27，
    此时点M的坐标为（-6，-27），
    ∵OA=5，
    ∴点N的纵坐标为：-27-5=-32，
    ∴点N的坐标为（6，-32）；
    （ii）若点M在对称轴右边，∵OC=12，
    ∴点M的横坐标为：6+12=18，
    代入抛物线解析式得，y=-
    1
    4
    ×182+3×18=-27，
    此时点M的坐标为（18，-27），
    ∵OA=5，
    ∴点N的纵坐标为：-27+5=-22，
    ∴点N的坐标为（6，-22）；
    ②AC是对角线时，∵点P是AC的中点，点N在对称轴上，
    ∴点M也在抛物线对称轴上，
    ∴点M为抛物线的顶点，
    ∵y=-
    1
    4
    x2+3x=-
    1
    4
    （x-12x+36）2+9=-
    1
    4
    （x-6）2+9，
    ∴M（6，9），
    ∵OA=5，OC=12，点P在对称轴上，
    ∴点P的坐标为（6，
    5
    2
    ），
    ∴点N的纵坐标为：2×
    5
    2
    -9=-4，
    ∴点N（6，-4）；
    综上所述，M（-6，-27）、N（6，-32）或M（18，-27）、N（6，-22）或M（6，9）、N（6，-4）时，以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，平行四边形的性质，（2）（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．
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    2
    x-1
    =
    1
    x-2
    ．

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