在直角坐标系中有两条直线:l1:y=12x+2和l2:y=-2x+4.它们的交点为E.直线l1与x轴.y轴分别交于点A.B.直线l2与x轴.y轴分别交于C.D．(1)求证:△AOB≌△DOC,是直线L2上第一象限内的一个动点.设△APC的面积为S.求S关于点P的横坐标x的函数关系式.并写出自变量x的取值范围,求出当P运动到什么位置时.△APC的面积是6,的条件下� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在直角坐标系中有两条直线：l₁：y=

x+2和l₂：y=-2x+4，它们的交点为E，直线l₁与x轴、y轴分别交于点A、B，直线l₂与x轴、y轴分别交于C、D．
（1）求证：△AOB≌△DOC；
（2）若点P（x，y）是直线L₂上第一象限内的一个动点，设△APC的面积为S，求S关于点P的横坐标x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；求出当P运动到什么位置时，△APC的面积是6；
（3）在（2）的条件下过点P作直线MN∥x轴，交l₁于点M，写出点M的坐标以及此时线段MP的长．

分析：（1）先根据直线l₁与直线l₂的解析式，分别求出A、B、C、D四个点的坐标，得出OA=OD=4，OB=OC=2，再由∠AOB=∠DOC=90°，根据SAS即可证明△AOB≌△DOC；
（2）先求出AC=OA+OC=6，再根据三角形的面积公式得出△APC的面积S=

AC•|y_P|=-6x+12，求出S关于点P的横坐标x的函数关系式为S=-6x+12，根据点P（x，y）是直线l₂上第一象限内的一个动点，得到自变量x的取值范围；再将S=6代入S=-6x+12，解方程即可求解；
（3）先由过点P（1，2）的直线MN∥x轴，得出M点的纵坐标是2，将y=2代入直线l₁的解析式，求得x=0，得到M点与B点重合，即可求解．

解答：解：（1）对于直线l₁：y=

x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=-4；则A（-4，0），B（0，2）；
对于直线l₂：y=-2x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=2；则C（2，0），D（0，4）；
∴OA=OD=4，OB=OC=2．
在△AOB与△DOC中，

OA=OD

∠AOB=∠DOC=90°

OB=OC

，
∴△AOB≌△DOC（SAS）；

（2）∵点P（x，y）是直线l₂上第一象限内的一个动点，
∴0＜x＜2，0＜y＜4．
又∵AC=OA+OC=4+2=6，
∴△APC的面积S=

AC•|y_P|=

×6（-2x+4）=-6x+12，

∴S关于点P的横坐标x的函数关系式为S=-6x+12（0＜x＜2）；
当S=6时，-6x+12=6，
解得x=1，此时y=-2×1+4=2，
∴当P运动到（1，2）时，△APC的面积是6；

（3）如图，∵过点P（1，2）作直线MN∥x轴，交l₁于点M，
∴M点与P点纵坐标相同，都是2，
当y=2时，

x+2=2，解得x=0，
∴M（0，2），即M点与B点重合，
∴MP=BP=1．

点评：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定，三角形的面积，平行于坐标轴上的点的坐标特征以及两点之间的距离，难度适中．

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