Question

10．如图，C在以AB为直径的半圆⊙O上，I是△ABC的内心，AI，BI 的延长线分别交半圆⊙O于点D，E，AB=6，则DE的长为（　　）

• A． 3
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 5

Answer 1

分析 连结OD、OE．根据三角形内心的性质得出∠CAB=2∠DAB，∠ABC=2∠ABE．由圆周角定理得出∠C=90°，∠DOB=2∠DAB，∠AOE=2∠ABE，进而得出∠DOB+∠AOE=90°，利用平角的定义得出∠DOE=90°，又OD=OE=$\frac{1}{2}$AB=3，然后根据勾股定理即可求出DE．

解答 解：如图，连结OD、OE．
∵I是△ABC的内心，
∴∠CAB=2∠DAB，∠ABC=2∠ABE．
∵C在以AB为直径的半圆⊙O上，
∴∠C=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∴2∠DAB+2∠ABE=90°，
∵∠DOB=2∠DAB，∠AOE=2∠ABE，
∴∠DOB+∠AOE=90°，
∴∠DOE=180°-（∠DOB+∠AOE）=90°，
∵OD=OE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴DE=$\sqrt{O{D}^{2}+O{E}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了圆周角定理，平角的定义以及勾股定理．作出辅助线证明∠DOE=90°是解题的关键．