Question

已知：如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，-2），直线AB上一点C在第一象限，且S_△BOC=2．
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点P从原点O出发沿x轴正方向以2个单位/S的速度运动．设运动时间为t，△COP的面积为s，求s与t的函数关系式（不要求自变量取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接BP，以BP为斜边，在BP上方作等腰直角△BPM，连接CM，是否存在t值，使CM=

1

2

OC．

Answer 1

考点：一次函数综合题,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）只需用待定系数法就可求出直线AB的解析式；
（2）过点C作CD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，如图1，由S_△BOC=2可求出点C的横坐标，进而可求出点C的纵坐标，就可解决问题；
（3）过点M作MG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥x轴于点H，如图2，易证△BGM≌△PHM，由此可得BG=PH，MG=MH．设MG=MH=a，从而可得OP=2a+2；易证点M在直线OC上，然后分两种情况（①若点M在线段OC上，②若点M在线段OC的延长线上）讨论，就可求出a的值，进而求出所对应t的值．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（1，0），B（0，-2），
∴

k+b=0 b=-2

，
∴

k=2 b=-2

，
∴直线AB的解析式为y=2x-2．

（2）过点C作CD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，如图1．
∵S_△BOC=

1

2

OB•CD=2，OB=2，
∴CD=2，
∴x_C=2．
∵点C在直线AB上，
∴y_C=2×2-2=2，
∴CE=2．
由题可得：OP=2t
∴S=S_△COP=

1

2

OP•CE=

1

2

×2t×2=2t．

（3）过点M作MG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥x轴于点H，如图2，
则∠OGM=∠OHM=90°，
∴∠OGM=∠OHM=∠GOH=90°，
∴四边形OGMH是矩形，
∴OG=MH，GM=OH，∠GMH=90°．
∵∠BMP=90°，
∴∠BMP=∠GMH，
∴∠BMG=∠PMH．
在△BGM和△PHM中，

∠GMB=∠HMP ∠BGM=∠PHM MB=MP

，
∴△BGM≌△PHM（AAS），
∴BG=PH，MG=MH．
设MG=MH=a，则点M（a，a），
∴OP=OH+PH=OH+BG=OH+OG+OB=2a+2．
∵点C的坐标为（2，2），
∴直线OC的解析式为y=x．
∵a=a，
∴点M在直线OC上．
∵CM=

1

2

OC，
∴点M在线段OC上或在线段OC的延长线上．
①若点M在线段OC上，
则有OM=

1

2

OC．
∵M（a，a），C（2，2），
∴

2

a=

1

2

×2

2

，
∴a=1，
∴2t=OP=2a+2=4，
∴t=2．
②若点M在线段OC的延长线上，
则有OM=

3

2

OC．
∵M（a，a），C（2，2），
∴

2

a=

3

2

×2

2

，
∴a=3，
∴2t=OP=2a+2=8，
∴t=4．
综上所述：满足条件的t的值为2或4．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形并分类讨论是解决第（3）小题的关键．