Question

如图，一抛物线经过点A、B、C，点 A（?2，0），点B（0，4），点C（4，0），该抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式及顶点D坐标；
（2）如图，若P为线段CD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAB的面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）过抛物线顶点D，作DE⊥x轴于E点，F（m，0）是x轴上一动点，若以BF为直径的圆与线段DE有公共点，求m的取值范围．

Answer 1

（1）y=-（x+2）（x-4）；D（1，）；（2）面积最大为，P（，1）；
（3）m≥?3，m≤，?3≤m≤

试题分析：（1）由题意设两点式，再把B（0，4）代入即可求得抛物线的解析式，从而求得顶点D的坐标；
（2）先求出直线CD的函数关系式，再根据三角形、梯形的面积公式表示出四边形PMAB的面积的函数关系式，最后根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据直线与圆的位置关系分类讨论即可.
（1）由题意设
∵图象过点B（0，4）
∴，解得
∴该抛物线的解析式为
∴顶点D的坐标为（1，）；
（2）设直线CD的函数关系式为
∵图象过点C（4，0），D（1，）
∴，解得
∴直线CD的函数关系式为
则可设点P的坐标为（m，），由题意得
四边形PMAB的面积
当时，四边形PMAB的面积最大，最大面积为，
此时，即点P的坐标为（，1）；
（3）m≥?3，m≤，?3≤m≤
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．