Question

【题目】如图，点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点C（2，﹣2），CA、CB分别交坐标轴于D、E，CA⊥AB，且CA＝AB

（1）求点B的坐标；

（2）如图2，连接DE，求证：BD﹣AE＝DE；

（3）如图3，若点F为（4，0），点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN＝PF，连接PO、BN，过P作∠OPG＝45°交BN于点G，求证：点G是BN的中点．

Answer 1

【答案】（1）B（0，4）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）作CM⊥x轴于M，求出CM＝CN＝2，证△BAO≌△ACM，推出AO＝CM＝2，OB＝AM＝4，即可得出答案；

（2）在BD上截取BF＝AE，连AF，证△BAF≌△CAE，证△AFD≌△CED，即可得出答案．

（3）作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，只要证明四边形ENPB是平行四边形就可以了．

解：（1）作CM⊥x轴于M，

∵C（2，﹣2），

∴CM＝2，OM＝2，

∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝∠AOB＝∠CMA＝90°，

∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，

∴∠BAO＝∠ACM，

在△BAO和△ACM中，

，

∴△BAO≌△ACM，

∴AO＝CM＝2，OB＝AM＝AO+OM＝2+2＝4，

∴B（0，4）．

（2）证明：在BD上截取BF＝AE，连AF，

∵△BAO≌△CAM，

∴∠ABF＝∠CAE，

在△ABF和△ACE中，

，

∴△ABF≌△CAE（SAS），

∴AF＝CE，∠ACE＝∠BAF＝45°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠FAD＝45°＝∠ECD，

由（1）可知OA＝OM，OD∥CM，

∴AD＝DC，（图1中），

在△AFD和△CED中，

，

∴△AFD≌△CED（SAS），

∴DE＝DF，

∴BD﹣AE＝DE；

（3）如图3，作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，

∵∠EOP＝90°，∠EPO＝45°，

∴∠OEP＝∠EPO＝45°，

∴EO＝PO，

∵∠EOP＝∠BOF＝90°，

∴∠EOB＝∠POF，

在△EOB和△POF中，

，

∴△EOB≌△POF，

∴EB＝PF＝PN，∠1＝∠OFP，

∵∠2+∠PMO＝180°，

∵∠MOF＝∠MPF＝90°，

∴∠OMP+∠OFP＝180°，

∴∠2＝∠OFP＝∠1，

∴EB∥PN，

∵EB＝PN，

∴四边形ENPB是平行四边形，

∴BG＝GN，

即点G是BN中点．