Question

8．如图，在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形，连接AE，DE．
（1）求证：△AEB≌△DEC：（2）若AB=2$\sqrt{3}$+2，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据SAS，只要证明∠ABE=∠DCE=30°，即可解决问题；
（2）作EH⊥AB于H．在Rt△AHE中，求出HE、AH即可解决问题；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=90°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=CE，
∴∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECD=30°，
在△AEB和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABE=∠DCE}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DEC．

（2）作EH⊥AB于H．
∵AB=BE=2$\sqrt{3}$+2，∠HBE=30°，
∴HE=$\sqrt{3}$+1，HB=3+$\sqrt{3}$，AH=AB=BH=$\sqrt{3}$-1，
∴AE=$\sqrt{A{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}+1）^{2}+（\sqrt{3}-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．