Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限且纵坐标为1，点B在x轴的负半轴上，AB=AO，∠ABO=30°，直线MN经过原点O，点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B1 ．

（1）求∠AOM的度数．
（2）已知30°，60°，90°的三角形三边比为1： ：2，求线段AB1的长和B1的纵坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A与点A1关于直线MN对称，

∴∠AOM=∠A1OM，

∵AB=AO，∠ABO=30°，

∴∠AOB=30°，

∵∠AOB+∠AOM+∠A1OM=180°，

∴∠AOM=75°

（2）

解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B1作B1D⊥x轴于点D，如图所示．

∵∠AOC=30°，∠ACO=90°，AC=1，

∴AO=2AC=2，OC= AC= ，

∵AB=AO，

∴BO=2OC=2 ，

∴点A（﹣ ，1），点B（﹣2 ，0）．

∵点A与点A1关于直线MN对称，

∴OA1=OA=2，

∴点A1（2，0），

∴A1B=2﹣（﹣2 ）=2+2 ，

∵点A关于直线MN的对称点A1，点B关于直线MN的对称点为B1，

∴AB1=A1B=2+2 ，OB1=OB=2 ．

在Rt△OB1D中，∠B1OD=∠AOB=30°，

∴B1D= OB1= ．

故线段AB1的长为2+2 ，B1的纵坐标为 ．

【解析】（1）由点A与点A1关于直线MN对称，可得出∠AOM=∠A1OM，再由等腰三角形的性质可得出∠AOB=30°，通过角的计算即可得出结论；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B1作B1D⊥x轴于点D，通过解直角三角形以及等腰三角形的性质可得出点A、B点的坐标，再根据对称的性质即可得出点A1的坐标以及AB1=A1B，在Rt△OB1D中，利用特殊角的三角函数值即可得出B1D的长度，此题得解．
【考点精析】本题主要考查了三角形三边关系和比例的性质的相关知识点，需要掌握三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边；不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边；基本性质；更比性质（交换比例的内项或外项）；反比性质（交换比的前项、后项）；等比性质才能正确解答此题．