Question

如图在矩形ABCD的边上截取AH=AG=CE=CF=x，已知AB=8，BC=6，
求：（1）四边形EHGF的面积s关于x的函数表达式和x的取值范围；
（2）当x为何值时，s的数值等于x的4倍；
（3）四边形EHGF的面积有可能等于25吗？为什么？

Answer 1

解：（1）S=S_矩形ABCD-2S_△AGH-2S_△BGF
=8×6-2××x²-2×（8-x）（6-x）
=-2x²+14x，（0＜x＜6）．

（2）S=4x，
即：-2x²+14x=4x，
2x（x-5）=0，
x₁=0 （舍去），x₂=5，
∴当x=5时，S的值等于x的4倍．

（3）当S=25时，
-2x²+14x=25，
2x²-14x+25=0，
△=196-4×2×25=-4＜0，
∴方程无实数根．
所以四边形EHGF的面积不可能等于25．
分析：（1）把矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到四边形EHGF的面积s关于x的函数表达式，根据AG＞0，BF＞0，确定x的取值范围．
（2）根据S=4x得到关于x的一元二次方程，解方程求出x的值．
（3）当S=25时，得到关于x的一元二次方程，因为判别式小于0，方程无解，所以四边形的面积不可能等于25．
点评：本题考查的是二次函数的应用，（1）结合图形求出S关于X的二次函数．（2）依题意得到关于x的一元二次方程，求出方程的根，不合题意的值要舍去．（3）利用判别式确定方程根的情况．