Question

探究：如图①，在矩形ABCD中，过点A作∠EAF=∠BAD，AE交线段BC于点E，AF交线段CD的延长线于点F．求证：△ABE∽△ADF．
拓展：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADF=180°，过点A作∠EAF=∠BAD，AE交线段BC于点E，AF交线段CD延长线于点F．若AB：AD=2：3，求△ABE的面积与△ADF的面积之比．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：探究：根据四边形ABCD是矩形，可得∠ADC=∠BAD=∠B=90°，根据角之间的关系可得∠EAB=∠FAD，再根据AA证明△ABE∽△ADF；
拓展：根据等角的补角相等可得∠ABE=∠ADF，根据角之间的关系可得∠EAB=∠FAD，再根据AA证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质即可求解．

解答：探究：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=∠B=90°
∴∠ADF=∠B=90°，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠EAB+∠EAD=∠FAD+∠EAD，
∴∠EAB=∠FAD，
∴△ABE∽△ADF；

拓展：解：∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+ADF=180°．
∴∠ABE=∠ADF，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠EAB+∠EAD=∠FAD+∠EAD，
∴∠EAB=∠FAD
∴△ABE∽△ADF．
∴S△ABE：S△ADF=AB²：AD²=4：9．

点评：考查了相似三角形的判定与性质，涉及的知识点有：矩形的性质，余角的性质，补角的性质，角与角之间的关系，相似三角形的判定与性质．