Question

14．正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且DE=BF．
（1）四边形AECF是什么形状的四边形？请说明理由．
（2）若EF=6cm，DE=BF=1cm，求四边形AECF的周长．

Answer 1

分析 （1）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形进行判断．
（2）在RT△EOC中，利用勾股定理求出EC即可解决问题．

解答 解：（1）结论四边形AECF是菱形，
理由：如图，连接AC与BD交于点O，

∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵DE=BF，
∴OE=OF，OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）∵EF=6，DE=BF=1，
∴OE=OF=3，OC=OD=4，
在RT△EOC中，∵∠EOC=90°，EO=3，OC=4，
∴EC=$\sqrt{E{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∴菱形AECF的周长为4×5=20cm．

点评 本题考查菱形的判定和性质、正方形的性质、解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法和性质，记住对角线垂直的平行四边形是菱形，学会常用辅助线的添加方法，属于中考常考题型．