Question

13．如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A（2，5），B（-5，a）两点，AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E．
（1）求反比例函数的解析式及直线AB的解析式；
（2）若点M（x，y）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，当2≤x≤5时，求反比例函数值y的取值范围；
（3）判断四边形CBED的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A代入双曲线方程求得k值，即利用待定系数法求得双曲线方程；然后将B点代入其中，从而求得a值；设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法解答；
（2）把x=2和x=5分别代入反比例函数的解析式求得y的值，从而得出反比例函数值y的取值范围；
（3）由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形．

解答 解：（1）∵双曲线y=$\frac{k}{x}$过A（2，5），
∴k=10．
把B（-5，a）代入y=$\frac{10}{x}$，得
a=-2．
∴点B的坐标是（-5，-2）．
设直线AB的解析式为y=mx+n，
将A（2，5）、B（-5，-2）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=5}\\{-5m+n=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=x+3；

（2）∵当x=2时，y=$\frac{10}{2}$=5，当x=5时，y=$\frac{10}{5}$=2，
∴当2≤x≤5时，求反比例函数值y的取值范围为：2≤y≤5；

（3）四边形CBED是平行四边形．理由如下：
∵直线AB的解析式为：y=x+3，
∴当y=0时，x=-3，
∴点C的坐标是（-3，0）；
∵点D在x轴上，AD⊥x轴，A（2，5），
∴点D的坐标是（2，0），
∵BE∥x轴，
∴点E的坐标是（0，-2）．
而CD=5，BE=5，且BE∥CD．
∴四边形CBED是平行四边形．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题．关键是根据交点的坐标求双曲线，直线的解析式，根据点的坐标求线段长，从而判断平行四边形．