Question

3．已知，在等边△ABC和等边△DEF中，EF∥AB，如图1，点D在AB边上，DE、AC交于M点，DF、BC交于N点．易证：MD+ND=AB．（不需证明）
（1）如图2，当点D移动到AB的延长线上时，分别延长DE、AC交于点M，分别延长FD、CB交于点N．猜想MD、ND、AB存在怎样的数量关系？写出你的猜想并加以证明．
（2）如图3，当点D移动到BA的延长线上时，分别延长ED、CA交于点M，分别延长DF、BC交于点N．猜想MD、ND、AB又存在怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°，∠F=60°，根据平行线的性质得到∠F=∠BDN=60°，推出△BND是等边三角形，得到BD=DN，同理可证MD=DA，于是得到结论．
（2）根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠B=60°，根据平行线的性质得到∠FDB=∠CAB=60°，根据等边三角形的性质得到BD=DN，MD=DA，根据线段的和差即可得到结论．

解答 解：（1）图2的结论：DM-DN=AB，
证明：∵等边△ABC和等边△DEF，
∴∠ABC=60°，∠F=60°，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠BDN=60°，
∴∠ABC=∠DBN=60°，
∴△BND是等边三角形，
∴BD=DN，同理可证：△MAD是等边三角形，
∴MD=DA，
MD=AB+BD=AB+DN，
即MD-DN=AB；

（2）图3的结论为：DN-DM=AB，
证明：∵等边△ABC和等边△DEF，
∴∠BAC=∠B=60°，
∵EF∥AB，
∴∠FDB=∠CAB=60°，
∴△BND是等边三角形，
∴BD=DN，同理可证：△MAD是等边三角形，
∴MD=DA，
ND=BD=AB+AD=AB+DM，
即DN-DM=AB．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．