Question

【题目】图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．

（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．

（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）8.

【解析】

（1）四边形AB′C′D′有一个角为60°的菱形，MN∥B′C′，可以得到△AB′D′，△B′C′D′都是等边三角形，可证得△AB′M≌△AD′N（SAS），由∠CAD＝∠BAD＝30°，即可求得答案；

（2）在△AE和△AG中，∠AE=∠AG=60°, ∠EA=∠GA=α，A=A，可证得△AEB′≌△AGD′（AAS），还可以证得△AHE≌△AHG（SAS），得到B′D′=2，继而求得答案.

（1）∵四边形AB′C′D′是菱形，

∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′，

∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°，

∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，

∵MN∥B′C′，

∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°，

∴△C′MN是等边三角形，

∴C′M＝C′N，

∴MB′＝ND′，

∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′，

∴△AB′M≌△AD′N（SAS），

∴∠B′AM＝∠D′AN，

∵∠CAD＝∠BAD＝30°，

∴∠DAD′＝15°，

∴α＝15°．

（2）在△AB`E和△AD`G中，∠AB`E=∠AD`G,∠EAB`=∠GAD`,AB`=AD`

∴△AEB′≌△AGD′（AAS），

∴EB′＝GD′，AE＝AG，

∵AH＝AH，∠HAE＝∠HAG，

∴△AHE≌△AHG（SAS），

∴EH＝GH，

∵△EHB′的周长为2，

∴EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2，

∴AB′＝AB＝2，

∴菱形ABCD的周长为8．