Question

如图1，为了测量小河的宽度，在河岸边任意取点A，再在河的另一边取点B、C，测得∠ABC=30°，∠ACD=60°，量得BC的长为12m．
（1）求小河的宽度；
（2）请再设计一种测量河宽的方案（测量工具不限），在图2中画出设计草图，并作简要说明．

Answer 1

解：（1）过点A作AD⊥BC于点D．
∵∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=60°-30°=30°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴AC=BC=12m．
在Rt△ABD中，∵∠ACD=60°，AC=BC=12m，
∴AD=AC•sin∠ACD=12×=6．
答：小河的宽度为6米；

（2）先在河岸边任意取点A，测量得∠ABC=90°处取点B，然后取∠ACB=30°，量出BC的长度即可．
分析：（1）过点A作AD⊥BC与D，先根据三角形外角的性质得出∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°=∠ABC，再由等角对等边得出AC=BC=12m，然后解Rt△ABD，即可求出AD的长度即小河的宽度；
（2）在河岸边任意取点A，过点A向河的另一边作AB⊥BC于B，再作∠ACB=30°，然后测量BC的长，则有AB=BC•tan30°，设计方案不唯一．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到直角三角形中，利用公共边及特殊三角函数值求解．