Question

14．如图，矩形ABCD中，AB=nAD，点E，F分别在边AB，AD上且不与顶点A，B，D重合，∠AEF=∠BCE，⊙O过A，E，F三点．
（1）求证：⊙O与CE相切与点E；
（2）如图1，若AF=2FD且∠AEF=30°，求n的值；
（3）如图2．若EF=EC且⊙O与边CD相切，求n的值．

Answer 1

分析 （1）只需要证明∠FEC=90°即可，由于∠AEF=∠BCE，∠BEC+∠BCE=90°，所以∠BEC+∠AEF=90°，
（2）设FD=x，AF=2x，所以BC=3x，根据特殊角的锐角三角函数值即可求出BE、AB的长度，从而可求出n的值．
（3）设切点为G，连OG并延长交AE于点H；，先证明△AEF≌△BCE，然后根据AB=nAD，可设BC=y，然后用y表示OH、OE，HE的长度，根据勾股定理即可求出n的值．

解答 解：（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∴圆心O是EF的中点；
∵∠AEF=∠BCE，∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠BEC+∠AEF=90°，
即∠FEC=90°，
∴圆O与CE相切与点E；

（2）如图1，设FD=x，AF=2x；
则BC=3x；
∵∠AEF=30°，
∴AE=AFtan 30°=2$\sqrt{3}$x，
∵∠BCE=30°，
∴BE=BC•tan30°=$\sqrt{3}$x，
∴AB=3$\sqrt{3}$x，
∴n=$\frac{3\sqrt{3}x}{3x}$=$\sqrt{3}$

（3）设切点为G，连OG并延长交AE于点H；
在△AEF与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{∠AEF=∠BCE}\\{EF=EC}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△BCE（AAS）
设BC=AE=y，
则BE=AF=（n-1）y，
HE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$y
∴由切线的性质可知：OG=OE=OF，
∴由中位线的性质可知：OH=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{n-1}{2}y$
∴OE=OG=y-$\frac{n-1}{2}$y=$\frac{3-n}{2}$y，
∴Rt△OHE中，由勾股定理可知：
（$\frac{3-n}{2}$）²=（$\frac{n-1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）²，
解得：n=$\frac{7}{4}$，

点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，考查学生综合运用知识的能力．