Question

已知，如图，直角坐标系中的等腰梯形ABCD，AB∥CD，下底AB在x轴上，D在y轴上，M为AD的中点，过O作腰BC的垂线交BC于点E．
（1）求证：OM⊥OE；
（2）若等腰梯形中AD所在的直线的解析式为y=

4

3

x+4，且

DC

AB

=

1

4

，求过等腰梯形ABCD的三个顶点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（3）若点M在梯形ABCD内沿水平方向移动到N，且使四边形MNCD为平行四边形，抛物线上是否存在一点P，使S_△PAB与四边形MNCD的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知OE⊥BC，则∠OBE+∠BOE=90°，欲求OM⊥OE，即∠MOA+∠BOE=90°，就必须先证得∠MOA=∠OBE，在Rt△OAD中，M是斜边AD的中点，则OM=AM，得∠OAM=∠MOA，而等腰梯形ABCD的两底角∠OAM=∠OBE，通过等量代换即可证得∠MOA=∠OBE，由此得证．
（2）根据直线AD的解析式，可求得点A、D的坐标，即可得到OA、OD的长，已知了DC、AB的比例关系，结合等腰梯形的对称性即可求得AB、CD的长，从而得到C、B的坐标，可根据A、B、D三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后再代入C点坐标进行验证即可．
（3）根据A、D的坐标，易得线段AD中点M的坐标；以DC为底，D、M纵坐标差的绝对值为高，可求得平行四边形MNCD的面积，即可得到△PAB的面积；在△ABP中，底边AB为定长，根据已求得的三角形面积，可得到P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得点P的坐标，需注意的是P点纵坐标有正、负两种情况，需要分类讨论．

解答：解：（1）∠A=∠B；
因为M为直角三角形AOD的斜边中点，
所以OM=MA，
则∠A=∠MOA，
所以∠MOA=∠B；
又因为OE⊥BC，
所以∠B+∠BOE=90°，
所以∠MOA+∠BOE=90°，则OM⊥OE．

（2）可以求得D（0，4），A（-3，0）；
所以OA=3，OD=4，AB=8，DC=2，
所以B（5，0）、C（2，4）；
设过A、B、D的抛物线为y=a（x+3）（x-5），
将点D的坐标代入，求出a=-

4

15

，
即y=-

4

15

（x+3）（x-5），
验证点C也在此抛物线上，所以所求的抛物线为y=-

4

15

（x+3）（x-5）．

（3）可以求出N（0.5，2），所以平行四边形MNCD的面积为4；
设P（m，n），又AB=8，
所以

1

2

|n|×8=4，则|n|=1，所以n=±1；
当n=1时，1=-

4

15

（x+3）（x-5），所以x=-

5

2

或

9

2

；
当n=-1时，-1=-

4

15

（x+3）（x-5），所以x=

2± 79

2

；
因此这样的点P有四个，分别为（-

5

2

，1）、（

9

2

，1）、（

2+ 79

2

，-1）、（

2- 79

2

，-1）．

点评：此题考查的知识点有：直角三角形、等腰梯形的性质，抛物线解析式的确定，图形面积的求法等．要注意的是（3）题中，根据△ABP的面积求得的点P纵坐标应有正、负两种情况，不要漏解．