Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，求∠PAC正切值；
（3）若以A、P、C、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法将A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点代入y=ax²+bx+c即可求出；
（2）利用配方法求出二次函数的顶点坐标，进而求出PA，PC，AC，从而得出∠PAC正切值；
（3）求出直线AC的解析式，直线AP的解析式，直线PC的解析式，当AC是平行四边形的一条对角线时，当PC是平行四边形的一条对角线时，当AP是平行四边形的一条对角线时分别得出．

解答：解：（1）由题意得：

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

，
∴y=-x²-2x+3；

（2）y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴P（-1，4），
∴PA=2

5

，PC=

2

，AC=3

2

，
∵PA²=PC²+AC²
∴∠PCA=90°，
∴tan∠PAC=

PC

AC

=

2

3 2

=

1

3

；

（3）∵直线AC的解析式是：y=x+3，
直线AP的解析式是：y=2x+6，
直线PC的解析式是：y=-x+3，
当AC是平行四边形的一条对角线时：
PC∥AM，AP∥CM，
∴利用两直线平行k的值相等，即可得出：
直线MC的解析式是：y=2x+3，
直线AM的解析式是：y=-x-3，
∴M（-2，-1），
当PC是平行四边形的一条对角线时：同理可得∴M（2，7），
当AP是平行四边形的一条对角线时：∴M（-4，1），
∴M（-2，-1）或M（2，7）或M（-4，1）．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及解直角三角形和平行四边形的性质等知识，（3）题中注意分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．