Question

阅读下列材料，然后解答后面的问题：
我们知道二元一次方程组

2x+3y=12 3x-3y=6

的求解方法是消元法，即可将它化为一元一次方程来解，可求得方程组

2x+3y=12 3x-3y=6

有唯一解．
我们也知道二元一次方程2x+3y=12的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．
下面是求二元一次方程2x+3y=12的正整数解的过程：
由2x+3y=12得：y=

12-2x

3

=4-

2

3

x
∵x、y为正整数，∴

x＞0 12-2x＞0

则有0＜x＜6
又y=4-

2

3

x为正整数，则

2

3

x为正整数，所以x为3的倍数
又因为0＜x＜6，从而x=3，代入：y=4-

2

3

×3=2
∴2x+3y=12的正整数解为

x=3 y=2

问题：（1）若 

6

x-2

为正整数，则满足条件的x的值有几个．（　　）
A、2    B、3    C、4   D、5
      （2）九年级某班为了奖励学习进步的学生，花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为3元/本，钢笔单价为5元/支，问有几种购买方案？
      （3）试求方程组

2x+y+z=10 3x+y-z=12

 的正整数解．

Answer 1

分析：（1）根据

6

x-2

为正整数，即可得出x-2＞0，进而求出符合要求的答案；
（2）根据3x+5y=35，得y=

35-3x

5

=7-

3

5

x，进而分析得出即可；
（3）利用（2）中计算方法，得出x，y的取值，进而求出即可．

解答：解：（1）∵

6

x-2

为正整数，即可得出x-2＞0，
且x-2=1，或2，或3或6，
∴满足条件的x的值有4个．
故选C；

（2）设购买了笔记本x本，钢笔y支，
根据题意得出：3x+5y=35，
由题意可得：3x+5y=35，得y=

35-3x

5

=7-

3

5

x，
∵x，y为正整数，
∴

x＞0 7- 3 5 x＞0

，
则有：0＜x＜

35

3

，
又y=7-

3

5

x，为正整数，则

3

5

x为正整数，
∴x为5的倍数，又∵0＜x＜

35

3

，从而得出x=5或10，代入：y=4或1，
∴有两种购买方案：
购买的笔记本5本，钢笔4支，
购买的笔记本10本，钢笔1支；

（3）两式相加消去z得5x+2y=22，
由上题方法可得：

x=2 y=6

或

x=4 y=1

，
将

x=2 y=6

代入方程2x+y+z=10得出z=0（不合题意舍去）
将

x=4 y=1

，代入方程2x+y+z=10得出z=1，
∴原方程组的解集为：

x=4 y=1 z=1

．

点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用以及多元方程组的解法，正确利用已知正整数解这一条件是解题关键．