Question

【题目】如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线l与AB所在直线垂直，垂足为C，OC＝3，P是圆上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交l于M、N两点．

（1）当∠A＝30°时，MN的长是　 ；

（2）求证：MCCN是定值；

（3）MN是否存在最大或最小值，若存在，请写出相应的最值，若不存在，请说明理由；

（4）以MN为直径的一系列圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置，若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）MCNC＝5；（3）a+b的最小值为2；（4）以MN为直径的一系列圆经过定点D，此定点D在直线AB上且CD的长为．

【解析】

(1)由题意得AO＝OB＝2、OC＝3、AC＝5、BC＝1，根据MC＝ACtan∠A＝ 、CN＝可得答案；

(2)证△ACM∽△NCB得，由此即可求得答案；

(3)设MC＝a、NC＝b，由(2)知ab＝5，由P是圆上异于A、B的动点知a＞0，可得b＝(a＞0)，根据反比例函数的性质得a+b不存在最大值，当a＝b时，a+b最小，据此求解可得；

(4)设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，证△MDC∽△DNC得，即MCNC＝DC2＝5，即DC＝，据此知以MN为直径的一系列圆经过定点D，此顶点D在直线AB上且CD的长为．

(1)如图所示，根据题意知，AO＝OB＝2、OC＝3，

则AC＝OA+OC＝5，BC＝OC﹣OB＝1，

∵AC⊥直线l，

∴∠ACM＝∠ACN＝90°，

∴MC＝ACtan∠A＝5×＝，

∵∠ABP＝∠NBC，

∴∠BNC＝∠A＝30°，

∴CN＝，

则MN＝MC+CN＝+＝，

故答案为：；

(2)∵∠ACM＝∠NCB＝90°，∠A＝∠BNC，

∴△ACM∽△NCB，

∴，

即MCNC＝ACBC＝5×1＝5；

(3)设MC＝a、NC＝b，

由(2)知ab＝5，

∵P是圆上异于A、B的动点，

∴a＞0，

∴b＝(a＞0)，

根据反比例函数的性质知，a+b不存在最大值，当a＝b时，a+b最小，

由a＝b得a＝，解之得a＝(负值舍去)，此时b＝，

此时a+b的最小值为2；

(4)如图，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，

∵MN为直径，

∴∠MDN＝90°，

则∠MDC+∠NDC＝90°，

∵∠DCM＝∠DCN＝90°，

∴∠MDC+∠DMC＝90°，

∴∠NDC＝∠DMC，

则△MDC∽△DNC，

∴，即MCNC＝DC2，

由(2)知MCNC＝5，

∴DC2＝5，

∴DC＝，

∴以MN为直径的一系列圆经过定点D，此定点D在直线AB上且CD的长为．