分析 (1)作AE⊥BC于E,如图,在Rt△ACE中,利用正切的定义得到tan∠ACE=$\frac{AE}{CE}$=3,则设CE=x,AE=3x,根据勾股定理得AC=$\sqrt{10}$x,利用$\sqrt{10}$x=10,解得x=$\sqrt{10}$,再在Rt△ABE中,利用∠B=45°得到BE=AE=3$\sqrt{10}$,然后根据三角形面积公式求解;
(2)作DF⊥BC于F,如图,由于CD是AB边上的中线,根据三角形面积公式得到S△ACD=$\frac{1}{2}$S△ABC=30,再证明DF为△ABE的中位线,则DF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$,易得BF=DF=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$,接着根据勾股定理计算出CD=$\sqrt{85}$,然后利用S△ACD=$\frac{1}{2}$CD•CA•sin∠ACD可计算出sin∠ACD的值.
解答 解:(1)作AE⊥BC于E,如图,
在Rt△ACE中,∵tan∠ACE=$\frac{AE}{CE}$=3,
∴设CE=x,AE=3x,
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$x,
∴$\sqrt{10}$x=10,解得x=$\sqrt{10}$,
∴AE=3$\sqrt{10}$,CE=$\sqrt{10}$,
在Rt△ABE中,∵∠B=45°,
∴BE=AE=3$\sqrt{10}$,
∴BC=BE+CE=4$\sqrt{10}$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{10}$×3$\sqrt{10}$=60;
(2)作DF⊥BC于F,如图,
∵CD是AB边上的中线,
∴AD=BD,
∴S△ACD=$\frac{1}{2}$S△ABC=30,
∵DF⊥BE,AE⊥BE,
∴DF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$,
∴BF=DF=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$,
∴CF=BC-BF=$\frac{5\sqrt{10}}{2}$,
在Rt△CDF中,CD=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{85}$,
∵S△ACD=$\frac{1}{2}$CD•CA•sin∠ACD,
∴sin∠ACD=$\frac{2×30}{10×\sqrt{85}}$=$\frac{6\sqrt{85}}{85}$.
点评 本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.解直角三角形要用到的关系:锐角互余的关系、三边之间的关系、边角之间的关系.也考查了三角形面积公式.
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m | … | -3 | -2 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
n | … | 4 | 3 | 1 | 0 | -1 | -2 | … |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2个 | B. | 3个 | C. | 4个 | D. | 5个 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 最小值y=$-\frac{1}{2}$ | B. | 最小值y=-1 | C. | 最大值y=$-\frac{1}{2}$ | D. | 最大值y=-1 |
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