如图,在边长为2的正方形ABCD中,以点D为圆心、DC为半径作,点E在AB上,且与A、B两点均不重合,点M在AD上,且ME=MD,过点E作EF⊥ME,交BC于点F,连接DE、MF.
(1)求证:EF是所在⊙D的切线;
(2)当MA=时,求MF的长;
(3)试探究:△MFE能否是等腰直角三角形?若是,请直接写出MF的长度;若不是,请说明理由.
解:(1)证明:过点D作DG⊥EF于G,
∵ME=MD,∴∠MDE=∠MED。
∵EF⊥ME,∴∠DME+∠GED=90°。
∵∠DAB=90°,∴∠MDE+∠AED=90°。
∴∠AED=∠GED。
在△ADE和△GDE中,
∵∠AED=∠GED,∠DAE=∠DGE=90°,DE=DE,
∴△ADE≌△GDE(AAS)。∴AD=GD。
∵的半径为DC,即AD的长度,∴EF是所在⊙D的切线。
(2)MA=时,ME=MD=2﹣=,
在Rt△AME中,,
∴BE=AB﹣AE=2﹣1=1。
∵EF⊥ME,∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°。
∵∠B=90°,∴∠2+∠3=90°。∴∠1=∠3。
又∵∠DAB=∠B=90°,∴△AME∽△BEF。
∴,即,解得EF=。
在Rt△MEF中,。
(3)不能。理由如下:
假设△MFE能是等腰直角三角形,则ME=EF。
∵在△AME和△BEF中,,∴△AME≌△BEF(AAS)。∴MA=BE。
设AM=BE=x,则MD=AD﹣MA=2﹣x,AE=AB﹣BE=2﹣x。
∵ME=MD,∴ME=2﹣x。∴ME=AE。
∵ME、AE分别是Rt△AME的斜边与直角边,∴ME≠AE。
∴假设不成立。
∴△MFE不能是等腰直角三角形。
【解析】
试题分析:(1)过点D作DG⊥EF于G,根据等边对等角可得∠MDE=∠MED,然后根据等角的余角相等求出∠AED=∠GED,再利用“角角边”证明△ADE和△GDE全等,根据全等三角形对应边相等可得AD=GD,再根据切
线的定义即可得证。
(2)求出ME=MD=,然后利用勾股定理列式求出AE,再求出BE,根据同角的余角相等求出∠1=∠3,然后求出△AME和△BEF相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出EF,再利用勾股定理列式计算即可得解。
(3)应用反证法,假设△MFE能是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得ME=EF,先利用“角角边”证明△AME和△BEF全等,根据全等三角形对边角相等可得AM=BE,设AM=BE=x,然后表示出MD,AE,再根据ME=MD,从而得到ME=AE,根据直角三角形斜边大于直角边可知△MEF不可能是等腰直角三角形。
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