Question

如图，已知直线y₁=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线（x＜0）分别交于点C、D，且C点的坐标为（-1，2）．
（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出：当在什么范围内取值时，y₁＞y₂；
（4）在坐标轴上找一点M，使得以M、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，请写出M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵C点的坐标为（-1，2），
∴-1+m=2，
解得m=3，
=2，
解得k=-2，
∴直线AB的解析式是：y₁=x+3，
双曲线的解析式是：y₂=-；

（2）直线与双曲线解析式联立得，，
解得（点C坐标），，
∴点D的坐标是（-2，1）；

（3）根据图象，当-2＜x＜-1时，y₁＞y₂；

（4）当y=0时，x+3=0，
解得x=-3，
当x=0时，y₁=0+3=3，
∴点A、B的坐标分别是A（-3，0）、B（0，3），
∵C（-1，2），D（-2，1）；
∴CD==，
①点M在x轴上时，DM=CD，设点M的坐标是（a，0），
则=，
解得a=-3（舍去）或a=-1，
∴点M的坐标是（-1，0），
②点M在y轴上时，CM=CD，设点M的坐标是（0，b），
则=，
解得b=1或b=3（舍去），
∴点M的坐标是（0，1），
③当点M与坐标原点O重合时，CM==，
DM==，
∴CM=DM，△CDM是等腰三角形，
此时点M的坐标是（0，0）．
综上所述，点M的坐标是（-1，0）（0，1）（0，0）．
分析：（1）把点C的坐标代入直线与双曲线解析式计算即可得解；
（2）两解析式联立求解即可得到点D的坐标；
（3）点C、D之间的部分的x的取值范围就是y₁＞y₂的取值；
（4）根据直线的解析式求出点A、B的坐标，再求出CD的长度，然后分①点M在x轴上时，DM=CD，②点M在y轴上时CM=CD，以及③CM=DM三种情况讨论求解．
点评：本题是对反比例函数的综合考查，有待定系数法求函数解析式，与直线的交点的坐标的求法，两点之间的距离公式，等腰三角形的求解，分情况讨论，综合性较强，难度较大，但只要仔细分析便不难求解．