Question

如图所示，抛物线m：y=ax²+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C_1，与x轴的另一个交点为A₁.
【小题1】当a=－1 , b=1时，求抛物线n的解析式；
【小题2】四边形AC₁A₁C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；
【小题3】若四边形AC₁A₁C为矩形，请求出a和b应满足的关系式.

Answer 1

【小题1】当时，抛物线的解析式为：.
令，得：.        ∴C（0,1）.
令，得：.       ∴A（-1,0），B（1,0）
∵C与C₁关于点B中心对称， ∴C₁（2, -1）.
∴抛物线的解析式为： 
【小题1】四边形AC₁A₁C是平行四边形.              
理由：∵C与C₁、A与A₁都关于点B中心对称，
∴,    ∴四边形AC₁A₁C是平行四边形.
【小题1】令，得：.    ∴C（0,）.
令，得：,  ∴,
∴, ∴.
要使平行四边形AC₁A₁C是矩形，必须满足,
∴，   ∴，
∴.        ∴应满足关系式.

解析【小题1】根据a=-1，b=1得出抛物线m的解析式，再利用C与C₁关于点B中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；
【小题1】利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明；
【小题1】利用矩形性质得出要使平行四边形AC₁A₁C是矩形，必须满足AB=BC，即可求出．