Question

如图1所示，已知：在矩形ABCD中，AB=6，点P在AD边上．
（1）如果∠BPC=90°，求证：△ABP∽△DPC；
（2）在问题（1）中，当AD=13时，求tan∠PBC；
（3）如图2所示，原题目中的条件不变，且AP=3，DP=9，M是线段BP上一点，过点M作MN∥BC交PC于点N，分别过点M，N作ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F，并且矩形MEFN和矩形ABCD的长与宽之比相等，求MN．

Answer 1

（1）证明：∵∠BPC=90°，∠D=90°，
∴∠BPA+∠DPC=∠PCD+∠DPC=90°，
∴∠APB=∠PCD；
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABP∽△DPC．

（2）解：设AP=x，则PD=AD-AP=13-x；
由（1）知：△ABP∽△DPC，得：
，即，化简得：
x²-13x+36=0，解得x=4，x=9；
在Rt△APB中，当AP=4时，tan∠APB==；
当AP=9时，tan∠APB===；
由于AD∥BC，则∠APB=∠PBC，
故∠PBC的正切值为或．

（3）解：过P作PH⊥BC于H，交MN于G，则PG⊥MN；
由题意知：AB=6，AD=AP+PD=12，即AD=2AB；
①当MN=2ME时，设ME=x，则MN=2x，PG=6-x；
由于MN∥BC，则△PMN∽△PBC，得：
，即；
解得：x=3，故MN=2x=6；
②当ME=2MN时，设MN=m，则ME=2m，PG=6-2m，同①可得：
，即；
解得：m=2.4，即MN=2.4；
综上所述，MN的值为6或2.4．
分析：（1）若∠BPC=90°，则∠BPA和∠PCD同为∠DPC的余角，故∠BPA=∠PCD，而∠A、∠D都是直角，由此可证得：△ABP∽△DPC．
（2）由于AD∥BC，则∠PBC=∠APB，那么只需求出∠APB的正切值即可，关键是求AP的长；可设AP为x，用x可表示出DP的长，根据（1）所得相似三角形的比例线段，即可求得x即AP的值，进而可得到∠APB的正切值，由此得解．
（3）易得AB、AD的长，即可得到矩形的长和宽的比例关系，若设ME=x，则MN=2ME=2x，可过P作BC的垂线，设垂足为H，交MN于G；那么PG=6-x，易证得△PMN∽△PBC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值，进而可求出MN的长．（当ME=2MN时，方法同上）．
点评：此题重点考查的是相似三角形的判定和性质，涉及到的知识点有：矩形的性质、锐角三角函数等知识；本题难度虽然不大，但关键在于（2）（3）题都要把各种情况考虑到，以免漏解．