Question

【题目】如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．

（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是________；

（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为________，请给出证明；

（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，当点E落在线段AD的延长线上时，探究DE，DF，AD之间的数量关系（直接写出结论，不用加以证明）.

Answer 1

【答案】（1）DE+DF=AD；（2）DE+DF=AD，证明见解析；（3）DF﹣DE=AD，证明见解析.

【解析】

（1）根据题意通过“角边角”证明△APE≌△DPF，得到AE=DF，则可得DE+DF=AD；

（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，根据题意可证得△MDP是等边三角形，进而可通过“角边角”证明△MPE≌△DPF，得到ME=DF，则可得DE+DF=AD；

（3）如图③，当点E落在AD的延长线上时，取AD的中点M，连接PM，同理（2）可证得△MPE≌△DPF，得到ME=DF，则可得DF﹣DE=AD.

（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，

∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，

∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，

∴∠APE=∠DPF，

在△APE和△DPF中，

，

∴△APE≌△DPF(ASA)，

∴AE=DF，

∴DE+DF=AD；

（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，

∵四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°，
∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，
∴∠ADP=∠CDP=60°，
∵AM=MD，
∴PM=MD，

∴△MDP是等边三角形，

∴PM=PD，∠MPD=∠PME=∠PDF=60°，

∵∠QPN=60°，

∴∠MPE=∠FPD，

在△PME和△DPF中，

，

∴△MPE≌△DPF(ASA)，

∴ME=DF，

∴DE+DF=AD；

（3）如图③，当点E落在AD的延长线上时，取AD的中点M，连接PM，

同（2）可证得，△MDP是等边三角形，
∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，

，
∴△MPE≌△DPF（ASA）．
∴ME=DF，
∴DF-DE=ME-DE=DM=AD．