Question

将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为r₁和r₂．
（1）求r₁与r₂的关系式，并写出r₁的取值范围；
（2）将两圆的面积和S表示成r₁的函数关系式，求S的最小值．

Answer 1

解：（1）由题意，有2πr₁+2πr₂=16π，
则r₁+r₂=8，
∵r₁＞0，r₂＞0，
∴0＜r₁＜8．
即r₁与r₂的关系式为r₁+r₂=8，r₁的取值范围是0＜r₁＜8厘米；

（2）∵r₁+r₂=8，∴r₂=8-r₁，
又∵S=π+π，
∴S=π+π（8-r₁）²=2π-16πr₁+64π=2π（r₁-4）²+32π，
∴当r₁=4厘米时，S有最小值32π平方厘米．
分析：（1）先由圆的周长公式表示出半径分别为r₁和r₂的圆的周长，再根据这两个圆的周长之和等于16π厘米列出关系式即可；
（2）先由（1）可得r₂=8-r₁，再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和S表示成r₁的函数关系式，然后根据函数的性质即可求出S的最小值．
点评：本题考查了二次函数的应用及圆的周长与面积公式，难度中等，（2）中用含r₁的代数式表示r₂是解题的关键，运用配方法求函数的最小值需牢固掌握．