Question

17．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD，下列结论：①EG丄FH； ②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG：④四边形EFGH是菱形，其中正确的结论有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．

解答 解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$CD，FG=$\frac{1}{2}$AB，GH=$\frac{1}{2}$CD，HE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∴①EG⊥FH，正确；
②四边形EFGH是矩形，错误；
③HF平分∠EHG，正确；
④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，
∴连接CD，延长EG到CD上一点N，
∴EN=$\frac{1}{2}$BC，GN=$\frac{1}{2}$AD，
∴EG=$\frac{1}{2}$（BC-AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；
⑤四边形EFGH是菱形，正确．
综上所述，①③⑤共3个正确．
故选：C．

点评 本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．