Question

【题目】已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝OC．

（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；

（2）若AD与⊙O相切，求∠B．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠B＝45°．

【解析】

（1）根据已知条件得∠OCA＝∠OAC，∠AOD＝∠ADO，然后根据三角形内角和定理得出∠AOC＝∠OAD，从而可知OC∥AD，即可求证结论；

（2）根据切线的性质可知∠OAD＝90°根据等边对等角可得∠AOD＝∠ADO＝45°，根据平行线的性质可得：∠OAC＝∠AOD＝45°，由直径所对的圆周角等于90°可得：∠ACB＝90°，继而即可求解．

（1）证明：∵OA＝OC＝AD，

∴∠OCA＝∠OAC，∠AOD＝∠ADO，

∵OD∥AC，

∴∠OAC＝∠AOD，

∴180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO，

即∠AOC＝∠OAD，

∴OC∥AD，

∵OD∥AC，

∴四边形OCAD是平行四边形；

（2）∵AD与⊙O相切，OA是半径，

∴∠OAD＝90°，

∵OA＝OC＝AD，

∴∠AOD＝∠ADO＝45°，

∵OD∥AC，

∴∠OAC＝∠AOD＝45°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝45°．