Question

【题目】在正方形ABCD中，点E是BC边上一动点，连接AE，沿AE将△ABE翻折得△AGE，连接DG，作△AGD的外接⊙O，⊙O交AE于点F，连接FG、FD．

（1）求证∠AGD＝∠EFG；

（2）求证△ADF∽△EGF；

（3）若AB＝3，BE＝1，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）⊙O的半径为

【解析】

（1）根据题目图形可知，本题考查圆内接四边形的性质应用，可利用对角互补解题；同时根据题干“翻折”信息可推出边等、角等信息，结合正方形ABCD边等性质即可解答；

（2）本题需以第一问结论作为角互换的桥梁，同时考查正方形ABCD性质，利用其平行特征推出角等，结合“翻折”图形性质进行角的互换，利用“角角”判定三角形相似；

（3）本题考查正方形以及圆的综合运用，借助正方形内角90°为媒介考查圆周角定理的运用，同时需要观察图形特点构造全等三角形，结合勾股定理求解边长．

（1）证明：∵四边形AFGD是⊙O的内接四边形，

∴∠ADG＋∠AFG＝180°，

∵∠AFG＋∠EFG＝180°，

∴∠ADG＝∠EFG，

由正方形ABCD及翻折可得AB＝AG＝AD，

∴∠ADG＝∠AGD，

∴∠AGD＝∠EFG．

（2）∵∠AGD＝∠AFD，∠AGD＝∠EFG，

∴∠AFD＝∠EFG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC．

∴∠DAF＝∠AEB．

由翻折得∠AEB＝∠GEF，

∴∠DAF＝∠GEF，

∴△ADF∽△EGF．

（3）解：设⊙O与CD交于点H，连接AH、GH，如下图所示

∵∠ADH＝90°，

∴AH是⊙O的直径，

∴∠AGH＝90°，

由翻折得∠AGE＝90°，则∠AGE＋∠AGH＝180°，

∴E、G、H三点在一条直线上．

∵AH＝AH，AD＝AG，∴Rt△ADH≌Rt△AGH，∴GH＝DH，

设GH＝DH＝x，则在Rt△ECH中，CH＝3－x，EH＝1＋x，EC＝3－1＝2，

由CH2＋EC2＝EH2，即(3－x)2＋22＝(1＋x)2，解得x＝，

在Rt△ADH中，AD2＋DH2＝AH2，即32＋()2＝AH2，解得AH＝，

∴⊙O的半径为