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    如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OMN的斜边ON在x轴上，顶点M的坐标为（3，3），MH为斜边上的高．抛物线C：y=-
    1
    4
    x2+nx    与直线y=
    1
    2
    x    及过N点垂直于x轴的直线交于点D．点P（m，0）是x轴上一动点，过点P作y轴的平行线，交射线OM于点E．设以M、E、H、N为顶点的四边形的面积为S．
    （1）直接写出点D的坐标及n的值；
    （2）判断抛物线C的顶点是否在直线OM上？并说明理由；
    （3）当m≠3时，求S与m的函数关系式；
    （4）如图2，设直线PE交射线OD于R，交抛物线C于点Q，以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQFG，其中RG=
    3
    2
    ，直接写出矩形RQFG与等腰直角三角形OMN重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．
    （1）D的坐标是（6，3），n的值是2．

    （2）抛物线的顶点坐标在直线OM上，
    理由是：设直线OM的解析式为y=kx，k≠0，
    ∵M（3，3）在直线OM上，
    ∴y=x．
    即直线OM的解析式为：y=x．
    ∵y=-
    1
    4
    x2+2x的顶点坐标为（4，4），
    ∴抛物线C的顶点在直线OM上；

    （3）根据题意，M（3，3），N（6，0）．
    ∵点P的横坐标为m，PE∥y轴交OM于点E，
    ∴E（m，m）．
    当0＜m＜3时，如图1，
    S=S△OMN-S△OEH
    =
    1
    2
    ×6×3-
    1
    2
    ×3m=-
    3
    2
    m+9    ．
    当3＜m＜6时，如图2，
    由勾股定理得：OM=
    		32+32
    =3
    		2
    ，
    同理ON=6，
    S=S△OEN-S△OMH，
    =
    1
    2
    ×6m-
    1
    2
    ×3×3，
    =3m-
    9
    2
    ；
    当m＞6时，如图2，
    S=S△EON-S△OMH
    =
    1
    2
    ×6m-
    1
    2
    ×3×3
    =3m-
    9
    2
    ．

    （4）分为三种情况：①为当四边形为正方形时，此时m=3-
    		3
    ，
    ②当MH平分QF时，此时m=
    9
    4
    ，
    ③矩形RQFG与等腰直角三角形OMN重叠部分为轴对称图形时，从M开始，到直线OD与抛物线的交点D为止（不包括D点），即m取值范围是3≤m＜4．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=
    3
    5
    x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；
    （3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（3，-3），与x轴的一个交点为B（1，0）．
    （1）求抛物线的解析式．
    （2）P是y轴上一个动点，求使P到A、B两点的距离之和最小的点P0的坐标．
    （3）设抛物线与x轴的另一个交点为C．在抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积等于以点A、P0、B、C为顶点的四边形面积的三分之一？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
    （1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式．
    （2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标．
    （3）设从出发起，运动了t秒．如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．
    （4）设从出发起，运动了t秒．当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点O、B出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP∥OC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒，△MPA的面积为S．
    （1）求点P的坐标．（用含x的代数式表示）
    （2）写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．
    （3）当△APM与△ACO相似时，求出点P的坐标．
    （4）△PMA能否成为等腰三角形？如能，直接写出所有点P的坐标；如不能，说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图所示，抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C．
    （1）求线段AC的长；
    （2）求tan∠CBA的值；
    （3）连接AC，试问在x轴左侧否存在点Q，使得以C、O、Q为顶点的三角形和△OAC相似？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是边AB上的动点（M不与A，B重合），MN∥BC交AC于点N，△AMN关于MN的对称图形是△PMN．设AM=x．
    （1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）；
    （2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；
    （3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在城市繁华中心地带的商铺内，放置统一尺寸大小的“格子柜”，任何人只需每月支付一定的费用，就可以租用一个柜子寄卖自己的物品，相当于拥有自己的一个“迷你实体店”，“格子店”以投入少、易操作为特点，吸引着众多淘宝店家．
    张阿姨有格子柜40个，当每个格子柜的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每个格子柜的月租金提高10元时，格子柜就少租出一个，且没有租出的一个格子柜每月需支出费用20元，设每个格子柜的月租金为x（x≥270）元，月收益为y元（总收益=格子柜租金收入-未租出格子柜支出费用）
    （1）求y关于x的函数关系；
    （2）当月租金分别为300元和350元时，张阿姨的月收益分别是多少元？可以出租多少个格子柜？请你简单说明理由；
    （3）若张阿姨某月出租格子柜的总收益为11100元，则她这个月出租了多少个格子柜？

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    问题情境
    已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
    数学模型
    设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2(x+
    a
    x
    )(x＞0)    ．
    探索研究
    （1）我们可以借鉴学习函数的经验，先探索函数y=x+
    1
    x
    (x＞0)    的图象性质．
    1填写下表，画出函数的图象：
    x…
    1
    4
    1
    3
    1
    2
    		1234…
    y……
    ②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
    ③在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．同样通过配方也可以求函数y=x+
    1
    x
    （x＞0）的最小值．y=x+
    1
    x
    =(
    		x
    )2+(
    1
    x
    )2    =(
    		x
    )2+(
    1
    x
    )2-2
    		x
    •
    1
    x
    +2
    		x
    •
    1
    x

    =(
    		x
    -
    1
    x
    )2+2    ≥2
    当
    		x
    -
    1
    x
    =0，即x=1时，函数y=x+
    1
    x
    （x＞0）的最小值为2．
    解决问题
    （2）解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

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