Question

如图，将边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使点B 落在CD上，落点记为E（不与点C，D重合），点A落在点F处，折痕MN交AD于点M，交BC于点N．若，则BN的长是   ，的值等于     ；若（，且为整数），则的值等于       （用含的式子表示）．

Answer 1

，，

试题分析：连接BM，EM，BE，由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称，即可到得MN垂直平分BE，则BM=EM，BN=EN．根据正方形的性质可得∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2，由可得CE=DE=1，设BN=x，则NE=x，NC=2-x，在Rt△CNE中，根据勾股定理即可列方程求得x的值，从而得到BN的长，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，根据勾股定理可得AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，则AM²+AB²=DM²+DE²．设AM=y，则DM=2-y，
即可列方程求得的值；当四边形ABCD为正方形时，连接BE，，不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，EN²=NC²+CE²，x²=（n-x）²+1²，x=；作MH⊥BC于H，则MH=BC，又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，则NH=EC=1，AM=BH=BN-NH=，从而可以求得结果.
连接BM，EM，BE

由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．
∴MN垂直平分BE，
∴BM=EM，BN=EN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．
∵，
∴CE=DE=1．
设BN=x，则NE=x，NC=2-x．
在Rt△CNE中，NE²=CN²+CE²．
∴x²=（2-x）²+1²，
解得，即
在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，
∴AM²+AB²=DM²+DE²．
设AM=y，则DM=2-y，
∴y²+2²=（2-y）²+1²，
解得，即
∴
当四边形ABCD为正方形时，连接BE，，
不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，EN²=NC²+CE²，x²=（n-x）²+1²，x=；
作MH⊥BC于H，则MH=BC，

又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；
而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，
∴NH=EC=1，AM=BH=BN-NH=
则：．
点评：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．